演算子の代数関係 - n.u-kiの日記は物理とか数学とか化学とかプログラムとかお酒とか？

ようやく生成消滅演算子や角運動量・スピンについての一貫した議論が出来るようになったので、ちょっとまとめてみます。

今回は以下の代数関係を考えてみます。

調和振動子やボソンの生成・消滅演算子の満たす代数
- $[ a,a^\dag ]=1 \; , \; [ a^\dag,a^\dag ]=0 \; , \; [ a,a ]=0$
- →http://d.hatena.ne.jp/n-u-ki/20060606
フェルミオンの生成消滅演算子の満たす代数
- $\{ c,c^\dag \}=1 \; , \; \{ c^\dag,c^\dag \}=0 \; , \; \{ c,c \}=0$
- →http://d.hatena.ne.jp/n-u-ki/20060607
角運動量演算子の満たす代数
- $[ L_i,L_j ]=\varepsilon_{ijk}iL_k$
- →http://d.hatena.ne.jp/n-u-ki/20060608
スピン演算子の満たす代数
- $[ S_i,S_j ]=\varepsilon_{ijk}iS_k$
- →http://d.hatena.ne.jp/n-u-ki/20060609

ちなみに共形場理論ではVirasoro代数

$[ L_m,L_n ] = (m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}(m^3-m) \delta_{m+n,0} \qquad (m,n \in \mathbb{Z})$

と言う代数が出てくるそうですが、これについては何も語れません。2次元共形場理論は可解であるため2次元統計系、1+1次元量子系を理解する上で強力な武器になるんだそうな。ちょっと興味が湧いてきた。