相対論的量子力学 - n.u-kiの日記は物理とか数学とか化学とかプログラムとかお酒とか？

テストは終わってるんでこれは自分の為のまとめ。テスト前に書いて欲しいと言うリクエストは無かったので知らんぞー(−−〆)

古典力学ではエネルギーと運動量は

$E=\frac{p^2}{2m}$

という関係で結び付いている。量子力学では、これらをそれぞれ微分演算子で置き換えた。

$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}$

右辺にポテンシャルを足せばハミルトニアンになった。これが時間に依存するシュレーディンガー方程式だ。

相対論でエネルギーは*1

$E^2=p^2+m^2$

となっていました。これを演算子で置き換えるとクライン・ゴルドン方程式が得られる。

$(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2+m^2)\psi=0$

でもこの方程式にはいくつかの問題が有る。

確率保存の式が成り立たないので自由粒子の相対論的量子力学の方程式としては解釈できない。しかしこれらに電荷を掛けて、電荷密度や電流密度と解釈する事は出来る。よってパイ中間子等はこの波動場で記述できるらしい。

確率保存の方程式を満たすには時間に関して1階微分だろう。そして相対論的な理論ではローレンツ変換に対して不変であるべきだ。だから空間に関しても1階微分だと思われる。これを満たす最も一般的な方程式の形は

$(\frac{\partial}{\partial t}+\sum\alpha_k\frac{\partial}{\partial x_k}+im\beta)\psi=0$

と表せる。これがクライン・ゴルドン方程式を満たすような $\alpha_k$ と $\beta$ を探せばよい。これを満たすには、 $\alpha_k$ と $\beta$ は4×4行列でなければならない。これを満たす時、上の方程式をディラック方程式と呼ぶ。

まあ、今回はこんなとこで。ちょっと怪しい所も有るけど適当なんで。

*1:自然単位系で表す。