量子力学 - n.u-kiの日記は物理とか数学とか化学とかプログラムとかお酒とか？

前提条件

これを理解するのには最低限、以下の知識が必要です。今までにやって来た筈ですが、不安な所は復習して下さい。

微分積分の基礎
座標系
座標変換（暗記で済ませる手もある）
変数分離型の微分方程式
二階の微分方程式
線形代数（行列・行列式・固有値問題）
力学の基礎（ハミルトニアン・ポテンシャル・その他の物理量の意味など）

量子力学の概略

量子力学でお嘆きのあなたはとりあえず「ハミルトニアン」が系の全エネルギーを表す事を知って下さい。そして以下の事実は考えても殆ど無駄なので素直に受け入れるのが無難です。

波動関数の絶対値の二乗は確率密度を与える。
シュレーディンガー方程式*1は $i\hbar\frac{\partial\psi(x,t)}{\partial t}=\hat{H}\psi(x,t)$ で与えられる。

で、
http://homepage3.nifty.com/first_physics/quantum_mechanics/qm_001.html
のような議論をすればよい*2。なのでこれからは時間に依存しないシュレーディンガー方程式*3 $\hat{H}\phi(x)=E\phi(x)$ を考えれば良い。ここまで分かれば、どんな問題でもシュレーディンガー方程式は書ける筈です。ハミルトニアンが

$\hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+V(x)$

と書ける事は知っている筈なので、後は問題に合わせて $V(x)$ を書き、適当な座標系に書き直せば出来上がりです。物理の問題はここまで。この後は、書きあがった微分方程式との戦いです。

一次元自由粒子
井戸型ポテンシャル
$\delta(x)$ 関数ポテンシャル

は比較的簡単に解けるでしょう。始めの2つは簡単な微分方程式です。接続条件と無限遠での条件から求まりますね*4。あ、自由粒子は上のような規格化できません。*5何故でしょう？

一次元調和振動子
水素原子（3次元）

の問題を解くには特殊関数が必要になりますがffujitaさんの演習書でやったはずです。分からなければ
物理と特殊関数―入門セミナー (物理数学One Point)
等でエルミート多項式・ラゲール多項式・球面調和関数について調べる良いでしょう。

物理量

量子力学では物理量はエルミートな演算子で書かれています。位置座標の演算子 $\hat{x}$ や、運動量の演算子 $\hat{p}$ を波動関数に作用させて、出てきた固有値が観測量となるのです。同様にハミルトニアンを作用させればエネルギー固有値が出てきますね。演算子に対応する固有値と固有関数の組は一つとは限らず、沢山有る事もある。

$\hat{H}\phi_n=E_n\phi_n$

角運動量は $L=r\times p$ で定義されていましたよね。後は適当な座標系に書き換えてやるだけです*6。スピンの問題は…行列の計算が出来れば大丈夫なんじゃん？

近似法

後は近似法。摂動論は正確に解ける状態にわずかな力を加えた時の挙動を調べるもの。

最後に

まあ、ここまできたらかなり分かってきている筈なので適当な本を探して勉強しましょう。勉強するのにノートは重要な情報源ですが十分ではありません。分からなければ、と言うか絶対に分からないので必ず本で調べましょう。それでも分からない所があれば、分かっていそうな人に質問しましょう。量子力学が何の困難も無く理解できるなんて有り得ない話です。

それではテスト頑張ってね。

*1:特に時間に依存するシュレーディンガー方程式と呼ぶ事もある。

*2:この文書には不満があるのでそのうち直します。

*3:シュレーディンガー方程式、エネルギー固有値方程式とも言う。

*4:もう一つの条件は規格化条件。これで全ての未知数が消える。

*5:運動量の固有状態ならデルタ関数を使った規格化が出来る。

*6:まあ、この計算はかなり面倒だけど