commutation relation

最近は勉強を怠っていたので簡単な事だけまとめてみます。

普通の数には交換関係が成り立ちます。つまり掛け算の順番を変えても値は変わりません。しかし、微分演算子や行列の場合には掛け算の順番によって結果が変わってしまいます。そこで量子力学では以下の様な記号を定義します。

前者を交換子(commutator)、後者を反交換子(anti-commutator)と呼びます。交換子が0になる時にはそれぞれが交換します。また、交換子と反交換子をまとめて以下の様に定義する流儀もあります。

ボソンの生成消滅演算子は交換関係を満たします。一方フェルミオンの生成消滅演算子は反交換関係を満たします。
下のような定義を用いるのは素粒子屋さんが多いのかもしれない。物性屋さんが超対称性を考える事は無いだろうから上の定義を多用するのかな。って所で面倒になったので今日はこの辺で。*1

*1:初めに考えていたよりも随分コンパクトになってしまった。