級数の公式

mathematics

昨日は一日中動いていたから今日は疲れて結局出かけられなかった。家に居ても大した事出来てないなぁ。

さて、久しぶりに和の公式に出会った。
\sum_{k=1}^{n}k = \frac{1}{2}n(n + 1)
この公式は天才ガウス少年が小学生の頃に発見した事で有名ですが、高次の公式を求めるにはどうすれば良いでしょう。2乗や3乗の公式は数学の教科書に載っていましたがより高次の和が欲しい時には自分で作るか数式処理ソフトにゆだねなければなりません。と言うより、2時の式すらうろ覚えだったので導出できる様にしたいと考えました。

先の一次の式は次の多項式を整理すれば求まります。計算の詳細は調べればすぐに見つかるので割愛します。
(k + 1)^2 - k^2 = 2k+1

2次や3次の公式はどこにでも載ってるのでl次を考えました。
(k + 1)^{l+1} - k^{l+1} = \sum_{i=0}^{l} {}_{l+1}C_{i} k^i
\sum_{k=1}^{n}k^l = \frac{1}{l+1}\{ \sum_{i=0}^{l+1} {}_{l+1}C_{i}n^i - \sum_{i=0}^{l-1} {}_{l+1}C_{i} \( \sum_{k=1}^{n} k^i \)-1 \}
もう少し奇麗に整理できるかもしれませんが、思い付かないのでこの辺で。